Le 5 juin 2025 – Un problème mathématique qui a dérouté les chercheurs pendant des décennies a finalement trouvé une résolution. Des mathématiciens ont réussi à percer le mystère d’une conjecture vieille de 40 ans concernant les sections transversales des formes convexes, une avancée qui pourrait avoir des implications surprenantes dans des domaines aussi variés que la physique des matériaux et l’optimisation algorithmique.

En 1986, le mathématicien belge Jean Bourgain, une figure vénérée dans le monde des mathématiques et connu pour son travail sur les espaces de Banach (un concept abstrait décrivant des espaces vectoriels munis d’une notion de distance), a posé une question d’apparence simple. Imaginez une forme convexe – une boule d’argile, par exemple. Peu importe comment vous la déformez, que ce soit en une pastèque, un ballon de football ou une longue nouille, serez-vous toujours capable d’y découper une section transversale d’une taille minimale garantie ? Autrement dit, existe-t-il une limite inférieure à la taille de cette section, indépendamment de la difformité de l’objet ?

Un article de Bo’az Klartag, de l’Institut Weizmann des Sciences à Rehovot, en Israël, et de Joseph Lehec, de l’Université de Poitiers, en France, publié sur le site de prépublication arXiv.org, apporte une réponse définitive à cette question : oui. Leur démonstration, saluée comme un tour de force mathématique, confirme l’intuition de Bourgain, mais offre une rigueur formelle que les tentatives précédentes n’avaient pas réussi à atteindre.

Le problème du tranchage de Bourgain, tel qu’il est communément appelé, demande si chaque forme convexe dans un espace à n dimensions (où n peut être n’importe quel nombre entier positif) possède une « tranche » dont la section transversale est supérieure à une certaine valeur fixe. Pour les objets tridimensionnels, comme un avocat, la question revient à savoir si l’on peut toujours le diviser en deux moitiés de telle sorte que chaque côté révèle au moins une tranche de taille considérable. Bourgain lui-même, considéré comme un titan des mathématiques, aurait consacré plus de temps à ce problème qu’à tout autre.

Bien que la question puisse sembler relativement facile à résoudre dans les deux ou trois dimensions de notre monde physique, elle gagne rapidement en complexité lorsque l’on considère des espaces à quatre, cinq, voire n dimensions. Cette complexité accrue rend toute affirmation dans un espace n-dimensionnel presque impossible à prouver, un phénomène connu sous le nom de « malédiction de la dimensionnalité ». Cette malédiction suggère que, plus le nombre de dimensions augmente, plus les calculs et les analyses deviennent exponentiellement difficiles, rendant de nombreux problèmes insolubles en pratique.

« Si vous croyez en cette soi-disant malédiction de la dimensionnalité, vous pourriez simplement abandonner », déclare Klartag. Heureusement, ajoute-t-il, Lehec et lui « appartiennent à une école de pensée différente ». Leur percée s’appuie sur les progrès récents du mathématicien Qingyang Guan de l’Académie chinoise des sciences, qui a abordé le problème avec une technique basée sur la physique plutôt que sur la géométrie.

Guan a montré que la modélisation de la façon dont la chaleur se diffuse à partir d’une forme convexe peut révéler des structures géométriques cachées. Les chercheurs pouvaient calculer la façon dont un gaz chaud remplit une forme convexe et observer attentivement la dissipation de la chaleur selon les lois physiques. L’intuition clé de Guan – une limite précise sur la rapidité avec laquelle le taux de dissipation change pendant ce processus de chauffage – s’est avérée être exactement ce dont Klartag et Lehec avaient besoin. « La limite de Guan a lié tous les autres faits clés connus pour le problème », explique Beatrice-Helen Vritsiou, mathématicienne à l’Université de l’Alberta.

Le résultat a permis à Klartag et Lehec de résoudre le problème en quelques jours seulement. Klartag note que « c’était une chance parce que nous savions que [le résultat de Guan] était exactement l’une des choses dont nous avions besoin » pour relier plusieurs approches apparemment disparates à l’énigme. Avec cette dernière pièce en place, la géométrie des corps convexes en haute dimension est maintenant un peu moins mystérieuse – bien que, comme toujours en mathématiques, chaque nouvelle tranche révèle davantage de questions à explorer.

Cet article a été fait a partir de ces articles:

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-multidimensional-shape-slicing-dilemma/, https://www.scientificamerican.com/article/what-will-happen-to-opioid-and-drug-overdose-deaths-after-cdc-cuts/, https://www.scientificamerican.com/article/nuclear-weapon-strike-decisions-could-come-down-to-human-suggestibility/, https://www.scientificamerican.com/article/how-velvet-worm-slime-hardens-in-seconds-to-trap-prey/, https://www.scientificamerican.com/article/proposed-federal-budget-would-devastate-u-s-space-science/